Bài 27 trang 22 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Giải các phương trình:
Phương Pháp:
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Kết luận.
Lời giải:
a) Điều kiện xác định: x ≠ -5.
Suy ra: 2x - 5 = 3(x + 5)
⇔ 2x - 5 = 3x + 15
⇔ -5 - 15 = 3x - 2x
⇔ x = -20 (thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-20}.
b) Điều kiện xác định: x ≠ 0.
Suy ra: 2(x2 - 6) = 2x2 + 3x
⇔ 2x2 - 12 - 2x2 - 3x = 0
⇔ - 12 - 3x = 0
⇔ -3x = 12
⇔ x = -4 (thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-4}.
c) Điều kiện xác định: x ≠ 3.
Suy ra: (x2 + 2x) - (3x + 6) = 0
⇔ x(x + 2) - 3(x + 2) = 0
⇔ (x - 3)(x + 2) = 0
⇔ x - 3 = 0 hoặc x + 2 = 0
+ x - 3 = 0 ⇔ x = 3 (Không thỏa mãn đkxđ)
+ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 (Thỏa mãn đkxđ).
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}.
d) Điều kiện xác định: x ≠ -2/3.
Suy ra: 5 = (2x - 1)(3x + 2) hay (2x - 1)(3x + 2) = 5
⇔ 2x.3x + 2x.2 - 1.3x - 1.2 = 5
⇔ 6x2 + 4x - 3x - 2 - 5 = 0
⇔ 6x2 + x - 7 = 0.
⇔ 6x2 - 6x + 7x - 7 = 0
(Tách để phân tích vế trái thành nhân tử)
⇔ 6x(x - 1) + 7(x - 1) = 0
⇔ (6x + 7)(x - 1) = 0
⇔ 6x + 7 = 0 hoặc x - 1 = 0
+ 6x + 7 = 0 ⇔ 6x = - 7 ⇔ x = -7/6 (thỏa mãn đkxđ)
+ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).
Vậy phương trình có tập nghiệm
Bài 28 trang 22 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Giải các phương trình:
Lời giải:
a) Điều kiện xác định: x ≠ 1.
Suy ra: 2x - 1 + x - 1 = 1
⇔ 3x - 2 = 1
⇔ 3x = 3
⇔ x = 1 (không thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) Điều kiện xác định: x ≠ -1.
Suy ra: 5x + 2( x+ 1) = - 12
⇔ 5x + 2x + 2 = -12
⇔ 7x + 2 = -12
⇔ 7x = -14
⇔ x = -2 (thỏa mãn đkxđ)
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}
c) Điều kiện xác định: x ≠ 0.
Suy ra: x3 + x = x4 + 1
⇔ x4 + 1 - x - x3 = 0
⇔ (x4 - x3) + (1 - x) = 0
⇔ x3(x - 1) - (x - 1) = 0
⇔ (x3 - 1)(x - 1) = 0
⇔ (x - 1)(x2 + x + 1)(x - 1) = 0
⇔ (x - 1)2. (x2 + x + 1) = 0
⇔ x - 1 = 0
(vì với mọi x).
⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}.
d) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ -1.
Suy ra: x(x + 3) + (x + 1)(x - 2) = 2.x(x + 1)
⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x - 2) - 2x(x + 1) = 0
⇔ x2 + 3x + x2 - 2x + x - 2 - (2x2 + 2x) = 0
⇔ x2 + 3x + x2 - 2x + x - 2 - 2x2 - 2x = 0
⇔ x2 + x2 - 2x2 + 3x + x - 2x - 2x - 2 = 0
⇔ 0x - 2 = 0
⇔ 0x = 2 (vô lí)
Phương trình vô nghiệm.
Kiến thức áp dụng
Bài 29 trang 22 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Bạn Sơn giải phương trình
Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x - 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:
Phương pháp:
Phương pháp chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm xác định điều kiện của trình phương pháp
Bước 2: Quy đồng mẫu của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Đã nhận được Medium method.
Bước 4: Kết luận.
Lời giải:
+) Cách làm của bạn Sơn sai vì chưa đặt điều kiện xác định cho phương trình đã nhân cả hai vế với ( x- 5).
+) Cách làm của bạn Hà sai vì chưa đặt điều kiện xác định cho phương trình đã rút gọn cả hai vế cho biểu thức (x- 5) phụ thuộc biến x.
+) Cách giải đúng
Điều kiện xác định: x ≠ 5
Ta có:
Suy ra: x2 - 5x = 5( x- 5)
x( x- 5) - 5(x - 5) = 0
( x- 5).( x- 5) =0
(x - 5)2 = 0
x - 5= 0
x = 5 ( không thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 30 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Giải các phương trình:
Lời giải:
a) Điều kiện xác định: x ≠ 2.
Suy ra: 1 + 3(x - 2) = -(x - 3)
⇔ 1 + 3x - 6 = -x + 3
⇔ 3x + x = 3 + 6 - 1
⇔ 4x = 8
⇔ x = 2 (không thỏa mãn đkxđ).
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) Điều kiện xác định: x ≠ -3.
Suy ra: 14x(x + 3) - 14x2 = 28x + 2(x + 3)
⇔ 14x2 + 42x - 14x2 = 28x + 2x + 6
⇔ 42x - 28x - 2x = 6
⇔ 12x = 6
⇔ x = 12">1212. (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {12">1212}.
Bài 31 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Giải các phương trình:
Lời giải:
a.(dfrac{1}{{x - 1}} - dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}) (1)
Ta có: (x - 1 ≠ 0 Leftrightarrow x ≠ 1) và ({x^3} - 1 ne 0) khi (x^3 ne 1) hay (x ne 1)
( {x^2+x + 1} = {{x^2} + x + dfrac{1}{4} + dfrac{3}{4}} )
( = {{x^2} + 2.x.dfrac{1}{2} + {{left( {dfrac{1}{2}} right)}^2} + dfrac{3}{4}})
(= {{{left( {x + dfrac{1}{2}} right)}^2} + dfrac{3}{4}})
Ta có: ({left( {x + dfrac{1}{2}} right)^2} geqslant 0) với mọi (x inmathbb R) nên ({left( {x + dfrac{1}{2}} right)^2} + dfrac{3}{4} > 0) với mọi (x inmathbb R)
Do đó:
ĐKXĐ: (x ≠ 1)
MTC= ({x^3} - 1=(x-1)(x^2+x+1))
Ta có:
(1) ( Leftrightarrow dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}} - dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = dfrac{{2xleft( {x - 1} right)}}{{{x^3} - 1}})
(Rightarrow {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2xleft( {x - 1} right) )
(Leftrightarrow - 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x)
( Leftrightarrow 0 = 2{x^2} - 2x + 2{x^2} - x - 1)
( Leftrightarrow 0 = 4{x^2} - 3x - 1)
(Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0)
(Leftrightarrow 4{x^2} - 4x+x - 1 = 0)
(Leftrightarrow 4xleft( {x - 1} right) + left( {x - 1} right) = 0)
(Leftrightarrow left( {x - 1} right)left( {4x + 1} right) = 0)
( Leftrightarrow left[ begin{gathered}x - 1 = 0 hfill 4x + 1 = 0 hfill end{gathered} right.)
( Leftrightarrow left[ begin{gathered}x = 1 hfill 4x = - 1 hfill end{gathered} right.)
(Leftrightarrow left[ {matrix{{x = 1}text{( loại)} cr {x = - dfrac{1}{4}}text{(thỏa mãn)}cr} }right.)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x = - dfrac{1}{4})
b.(dfrac{3}{{left( {x - 1} right)left( {x - 2} right)}} + dfrac{2}{{left( {x - 3} right)left( {x - 1} right)}} )(,= dfrac{1}{{left( {x - 2} right)left( {x - 3} right)}}) (2)
ĐKXĐ: (x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3)
MTC= ((x-1)(x-2)(x-3))
Ta có: (2)
( Rightarrow 3left( {x - 3} right) + 2left( {x - 2} right) = x - 1)
(Leftrightarrow 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1)
( Leftrightarrow 5x - 13 = x - 1)
( Leftrightarrow 5x - x = - 1 + 13)
(⇔ 4x = 12)
( Leftrightarrow x = 12:4)
(⇔ x = 3) (không thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình vô nghiệm.
c. (1 + dfrac{1}{{x + 2}} = dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}})(3)
Ta có: (8 + {x^3} ne 0)(Leftrightarrow x^3 ≠ -8 ⇔ x ≠ -2)
ĐKXĐ: (x ≠ -2)
MTC= (8 + {x^3}=(x+2)(x^2-2x+4))
Ta có: (3) ( Leftrightarrow dfrac{{8 + {x^3}}}{{8 + {x^3}}} + dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{8 + {x^3}}} = dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}})
( Rightarrow {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12 )
( Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 12 - 8 - 4)
(Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0)
(Leftrightarrow xleft( {{x^2} + x - 2} right) = 0)
(Leftrightarrow xleft[ {{x^2} + 2x - x - 2} right] = 0)
⇔(x[ x(x+2) - (x+2) ] = 0)
⇔ (x(x + 2)(x - 1) = 0)
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0x + 2 = 0x - 1 = 0end{array} right. )
(Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0left( text{ thỏa mãn} right)x = - 2left( text{ loại} right)x = 1left( text{ thỏa mãn} right)end{array} right.)
Vậy phương trình có tập nghiệm là (S = left{ {0;1} right}).
d. (dfrac{{13}}{{left( {x - 3} right)left( {2x + 7} right)}} + dfrac{1}{{2x + 7}} )(,= dfrac{6}{{left( {x - 3} right)left( {x + 3} right)}}) (4)
ĐKXĐ: (x ne 3,x ne - 3,x ne - dfrac{7}{2})
MTC= ({left( {x - 3} right)left( {x + 3} right)}left( {2x + 7} right))
Ta có: (4)
( Rightarrow 13left( {x + 3} right) + left( {x - 3} right)left( {x + 3} right) )(= 6left( {2x + 7} right) )
(Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42)
(Leftrightarrow {x^2} + 13x + 30 = 12x + 42)
( Leftrightarrow {x^2} + 13x + 30 - 12x - 42 = 0)
(Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0)
(Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0)
(Leftrightarrow xleft( {x + 4} right) - 3left( {x + 4} right) = 0)
(Leftrightarrow left( {x - 3} right)left( {x + 4} right) = 0)
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x - 3 = 0x + 4 = 0end{array} right. )
(Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 3left( text{không thỏa mãn} right)x = - 4left( text{thỏa mãn} right)end{array} right.)
Vậy phương trình có tập nghiệm là (S = left{-4 right}).
Bài 32 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Giải các phương trình:
Lời giải:
ĐKXĐ: x ≠ 0
ĐKXĐ: x ≠ 0
Vậy nghiệm của phương trình là x = −1.
Bài 33 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2:
Lời giải:
Suy ra: (3a - 1)(a + 3) + (a - 3)(3a + 1) = 2(3a + 1)(a + 3)
⇔ 3a2 + 9a - a - 3 + 3a2 + a - 9a - 3 = 2(3a2 + 9a + a + 3)
⇔ 6a2- 6 = 6a2 + 18a + 2a + 6
⇔ 6a2- 6 − 6a2 − 18a − 2a - 6 = 0
⇔ −20a - 12 = 0
⇔ −20a = 12
⇔ a = (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với a = thì biểu thức đã cho có giá trị bằng 2.
b) Để biểu thức có giá trị bằng 2 thì
ĐKXĐ: a ≠ -3 ta có:
Suy ra: (3a - 1)(a + 3) + (a - 3)(3a + 1) = 2(3a + 1)(a + 3)
⇔ 3a2 + 9a - a - 3 + 3a2 + a - 9a - 3 = 2(3a2 + 9a + a + 3)
⇔ 6a2- 6 = 6a2 + 18a + 2a + 6
⇔ 6a2- 6 − 6a2 − 18a − 2a - 6 = 0
⇔ −20a - 12 = 0
⇔ −20a = 12
⇔ a = (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với a = thì biểu thức đã cho có giá trị bằng 2.
Sachbaitap.com