Bài 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 trang 22, 23 SGK Toán 8 tập 2 - Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 27 trang 22 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Giải các phương trình:

Phương Pháp:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: x ≠ -5.

Suy ra: 2x - 5 = 3(x + 5)

⇔ 2x - 5 = 3x + 15

⇔ -5 - 15 = 3x - 2x

⇔ x = -20 (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-20}.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 0.

Suy ra: 2(x2 - 6) = 2x2 + 3x

⇔ 2x2 - 12 - 2x2 - 3x = 0

⇔ - 12 - 3x = 0

⇔ -3x = 12

⇔ x = -4 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-4}.

c) Điều kiện xác định: x ≠ 3.

Suy ra: (x2 + 2x) - (3x + 6) = 0

⇔ x(x + 2) - 3(x + 2) = 0

⇔ (x - 3)(x + 2) = 0

⇔ x - 3 = 0 hoặc x + 2 = 0

+ x - 3 = 0 ⇔ x = 3 (Không thỏa mãn đkxđ)

+ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 (Thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}.

d) Điều kiện xác định: x ≠ -2/3.

Suy ra: 5 = (2x - 1)(3x + 2) hay (2x - 1)(3x + 2) = 5

⇔ 2x.3x + 2x.2 - 1.3x - 1.2 = 5

⇔ 6x2 + 4x - 3x - 2 - 5 = 0

⇔ 6x2 + x - 7 = 0.

⇔ 6x2 - 6x + 7x - 7 = 0

(Tách để phân tích vế trái thành nhân tử)

⇔ 6x(x - 1) + 7(x - 1) = 0

⇔ (6x + 7)(x - 1) = 0

⇔ 6x + 7 = 0 hoặc x - 1 = 0

+ 6x + 7 = 0 ⇔ 6x = - 7 ⇔ x = -7/6 (thỏa mãn đkxđ)

+ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình có tập nghiệm

Bài 28 trang 22 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Giải các phương trình:

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: x ≠ 1.

Suy ra: 2x - 1 + x - 1 = 1

⇔ 3x - 2 = 1

⇔ 3x = 3

⇔ x = 1 (không thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) Điều kiện xác định: x ≠ -1.

Suy ra: 5x + 2( x+ 1) = - 12

⇔ 5x + 2x + 2 = -12

⇔ 7x + 2 = -12

⇔ 7x = -14

⇔ x = -2 (thỏa mãn đkxđ)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}

c) Điều kiện xác định: x ≠ 0.

Suy ra: x3 + x = x4 + 1

⇔ x4 + 1 - x - x3 = 0

⇔ (x4 - x3) + (1 - x) = 0

⇔ x3(x - 1) - (x - 1) = 0

⇔ (x3 - 1)(x - 1) = 0

⇔ (x - 1)(x2 + x + 1)(x - 1) = 0

⇔ (x - 1)2. (x2 + x + 1) = 0

⇔ x - 1 = 0

(vì với mọi x).

⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}.

d) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ -1.

Suy ra: x(x + 3) + (x + 1)(x - 2) = 2.x(x + 1)

⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x - 2) - 2x(x + 1) = 0

⇔ x2 + 3x + x2 - 2x + x - 2 - (2x2 + 2x) = 0

⇔ x2 + 3x + x2 - 2x + x - 2 - 2x2 - 2x = 0

⇔ x2 + x2 - 2x2 + 3x + x - 2x - 2x - 2 = 0

⇔ 0x - 2 = 0

⇔ 0x = 2 (vô lí)

Phương trình vô nghiệm.

Kiến thức áp dụng

Bài 29 trang 22 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Bạn Sơn giải phương trình

Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x - 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:

Phương pháp:

Phương pháp chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm xác định điều kiện của trình phương pháp

Bước 2: Quy đồng mẫu của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Đã nhận được Medium method.

Bước 4: Kết luận.

Lời giải:

+) Cách làm của bạn Sơn sai vì chưa đặt điều kiện xác định cho phương trình đã nhân cả hai vế với ( x- 5).

+) Cách làm của bạn Hà sai vì chưa đặt điều kiện xác định cho phương trình đã rút gọn cả hai vế cho biểu thức (x- 5) phụ thuộc biến x.

+) Cách giải đúng

Điều kiện xác định: x ≠ 5

Ta có:

Suy ra: x2 - 5x = 5( x- 5)

x( x- 5) - 5(x - 5) = 0

( x- 5).( x- 5) =0

(x - 5)2 = 0

x - 5= 0

x = 5 ( không thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 30 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Giải các phương trình:

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: x ≠ 2.

Suy ra: 1 + 3(x - 2) = -(x - 3)

⇔ 1 + 3x - 6 = -x + 3

⇔ 3x + x = 3 + 6 - 1

⇔ 4x = 8

⇔ x = 2 (không thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) Điều kiện xác định: x ≠ -3.

Suy ra: 14x(x + 3) - 14x2 = 28x + 2(x + 3)

⇔ 14x2 + 42x - 14x2 = 28x + 2x + 6

⇔ 42x - 28x - 2x = 6

⇔ 12x = 6

⇔ x = 12">1212. (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {12">1212}.

Bài 31 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Giải các phương trình:

Lời giải:

a.(dfrac{1}{{x - 1}} - dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}) (1)

Ta có: (x - 1 ≠ 0 Leftrightarrow x ≠ 1) và ({x^3} - 1 ne 0) khi (x^3 ne 1) hay (x ne 1)

( {x^2+x + 1} = {{x^2} + x + dfrac{1}{4} + dfrac{3}{4}} )

( = {{x^2} + 2.x.dfrac{1}{2} + {{left( {dfrac{1}{2}} right)}^2} + dfrac{3}{4}})

(= {{{left( {x + dfrac{1}{2}} right)}^2} + dfrac{3}{4}})

Ta có: ({left( {x + dfrac{1}{2}} right)^2} geqslant 0) với mọi (x inmathbb R) nên ({left( {x + dfrac{1}{2}} right)^2} + dfrac{3}{4} > 0) với mọi (x inmathbb R)

Do đó:

ĐKXĐ: (x ≠ 1)

MTC= ({x^3} - 1=(x-1)(x^2+x+1))

Ta có:

(1) ( Leftrightarrow dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}} - dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = dfrac{{2xleft( {x - 1} right)}}{{{x^3} - 1}})

(Rightarrow {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2xleft( {x - 1} right) )

(Leftrightarrow - 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x)

( Leftrightarrow 0 = 2{x^2} - 2x + 2{x^2} - x - 1)

( Leftrightarrow 0 = 4{x^2} - 3x - 1)

(Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0)

(Leftrightarrow 4{x^2} - 4x+x - 1 = 0)

(Leftrightarrow 4xleft( {x - 1} right) + left( {x - 1} right) = 0)

(Leftrightarrow left( {x - 1} right)left( {4x + 1} right) = 0)

( Leftrightarrow left[ begin{gathered}x - 1 = 0 hfill 4x + 1 = 0 hfill end{gathered} right.)

( Leftrightarrow left[ begin{gathered}x = 1 hfill 4x = - 1 hfill end{gathered} right.)

(Leftrightarrow left[ {matrix{{x = 1}text{( loại)} cr {x = - dfrac{1}{4}}text{(thỏa mãn)}cr} }right.)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x = - dfrac{1}{4})

b.(dfrac{3}{{left( {x - 1} right)left( {x - 2} right)}} + dfrac{2}{{left( {x - 3} right)left( {x - 1} right)}} )(,= dfrac{1}{{left( {x - 2} right)left( {x - 3} right)}}) (2)

ĐKXĐ: (x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3)

MTC= ((x-1)(x-2)(x-3))

Ta có: (2)

( Rightarrow 3left( {x - 3} right) + 2left( {x - 2} right) = x - 1)

(Leftrightarrow 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1)

( Leftrightarrow 5x - 13 = x - 1)

( Leftrightarrow 5x - x = - 1 + 13)

(⇔ 4x = 12)

( Leftrightarrow x = 12:4)

(⇔ x = 3) (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c. (1 + dfrac{1}{{x + 2}} = dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}})(3)

Ta có: (8 + {x^3} ne 0)(Leftrightarrow x^3 ≠ -8 ⇔ x ≠ -2)

ĐKXĐ: (x ≠ -2)

MTC= (8 + {x^3}=(x+2)(x^2-2x+4))

Ta có: (3) ( Leftrightarrow dfrac{{8 + {x^3}}}{{8 + {x^3}}} + dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{8 + {x^3}}} = dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}})

( Rightarrow {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12 )

( Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 12 - 8 - 4)

(Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0)

(Leftrightarrow xleft( {{x^2} + x - 2} right) = 0)

(Leftrightarrow xleft[ {{x^2} + 2x - x - 2} right] = 0)

⇔(x[ x(x+2) - (x+2) ] = 0)

⇔ (x(x + 2)(x - 1) = 0)

( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0x + 2 = 0x - 1 = 0end{array} right. )

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0left( text{ thỏa mãn} right)x = - 2left( text{ loại} right)x = 1left( text{ thỏa mãn} right)end{array} right.)

Vậy phương trình có tập nghiệm là (S = left{ {0;1} right}).

d. (dfrac{{13}}{{left( {x - 3} right)left( {2x + 7} right)}} + dfrac{1}{{2x + 7}} )(,= dfrac{6}{{left( {x - 3} right)left( {x + 3} right)}}) (4)

ĐKXĐ: (x ne 3,x ne - 3,x ne - dfrac{7}{2})

MTC= ({left( {x - 3} right)left( {x + 3} right)}left( {2x + 7} right))

Ta có: (4)

( Rightarrow 13left( {x + 3} right) + left( {x - 3} right)left( {x + 3} right) )(= 6left( {2x + 7} right) )

(Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42)

(Leftrightarrow {x^2} + 13x + 30 = 12x + 42)

( Leftrightarrow {x^2} + 13x + 30 - 12x - 42 = 0)

(Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0)

(Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0)

(Leftrightarrow xleft( {x + 4} right) - 3left( {x + 4} right) = 0)

(Leftrightarrow left( {x - 3} right)left( {x + 4} right) = 0)

( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x - 3 = 0x + 4 = 0end{array} right. )

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 3left( text{không thỏa mãn} right)x = - 4left( text{thỏa mãn} right)end{array} right.)

Vậy phương trình có tập nghiệm là (S = left{-4 right}).

Bài 32 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Giải các phương trình:

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ 0

ĐKXĐ: x ≠ 0

Vậy nghiệm của phương trình là x = −1.

Bài 33 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2:

Lời giải:

Suy ra: (3a - 1)(a + 3) + (a - 3)(3a + 1) = 2(3a + 1)(a + 3)

⇔ 3a2 + 9a - a - 3 + 3a2 + a - 9a - 3 = 2(3a2 + 9a + a + 3)

⇔ 6a2- 6 = 6a2 + 18a + 2a + 6

⇔ 6a2- 6 − 6a2 − 18a − 2a - 6 = 0

⇔ −20a - 12 = 0

⇔ −20a = 12

⇔ a = (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với a = thì biểu thức đã cho có giá trị bằng 2.

b) Để biểu thức có giá trị bằng 2 thì

ĐKXĐ: a ≠ -3 ta có:

Suy ra: (3a - 1)(a + 3) + (a - 3)(3a + 1) = 2(3a + 1)(a + 3)

⇔ 3a2 + 9a - a - 3 + 3a2 + a - 9a - 3 = 2(3a2 + 9a + a + 3)

⇔ 6a2- 6 = 6a2 + 18a + 2a + 6

⇔ 6a2- 6 − 6a2 − 18a − 2a - 6 = 0

⇔ −20a - 12 = 0

⇔ −20a = 12

⇔ a = (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với a = thì biểu thức đã cho có giá trị bằng 2.

Sachbaitap.com