Đề bài
Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:a) (y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1);b) (y = {x^4} - 2{x^2} - 1);c) (y = frac{{2x - 1}}{{3x + 1}});d) (y = frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}).
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: (D = mathbb{R}).
Ta có: (y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{left( {x - 1} right)^2},y' = 0 Leftrightarrow x = 1)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số (y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1) đồng biến trên R.
Hàm số (y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1) không có cực trị.
b) Tập xác định của hàm số là (D = mathbb{R}).
Ta có: (y' = 4{x^3} - 4x,y' = 0 Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0x = pm 1end{array} right.)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số (y = {x^4} - 2{x^2} - 1) đồng biến trên khoảng (left( { - 1;0} right)) và (left( {1; + infty } right)).
Hàm số (y = {x^4} - 2{x^2} - 1) nghịch biến trên khoảng (left( { - infty ; - 1} right)) và (left( {0;1} right)).
Hàm số (y = {x^4} - 2{x^2} - 1) đạt cực đại tại (x = 0) và .
Hàm số (y = {x^4} - 2{x^2} - 1) đạt cực tiểu tại (x = pm 1) và ({y_{CT}} = - 2).
c) Tập xác định: (D = mathbb{R}backslash left{ { - frac{1}{3}} right}).
Ta có: (y' = frac{{2left( {3x + 1} right) - 3left( {2x - 1} right)}}{{{{left( {3x + 1} right)}^2}}} = frac{5}{{{{left( {3x + 1} right)}^2}}} > 0;forall x ne frac{{ - 1}}{3})
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số (y = frac{{2x - 1}}{{3x + 1}}) đồng biến trên (left( { - infty ;frac{{ - 1}}{3}} right)) và (left( {frac{{ - 1}}{3}; + infty } right)).
Hàm số không có cực trị.
d) Tập xác định: (D = mathbb{R}backslash left{ { - 1} right}).
Ta có: (y' = frac{{left( {2x + 2} right)left( {x + 1} right) - left( {{x^2} + 2x + 2} right)}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}} = frac{{{x^2} + 2x}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}})
(y' = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0x = - 2end{array} right.) (thỏa mãn)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số (y = frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}) đồng biến trên khoảng (left( { - infty ; - 2} right)) và (left( {0; + infty } right)).
Hàm số (y = frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}) nghịch biến trên khoảng (left( { - 2; - 1} right)) và (left( { - 1;0} right)).
Hàm số (y = frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}) đạt cực đại tại (x = - 2) và ({y_{CĐ}} = -2).
Hàm số (y = frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}) đạt cực tiểu tại (x = 0) và ({y_{CT}} = 2).
