Lý thuyết nhân đa thức với đa thức

Trong toán học, các dạng bài tập liên quan đến lý thuyết nhân đa thức với đa thức luôn được xuất hiện thường xuyên. Để làm được các dạng bài tập liên quan đến dạng đề này các bạn cần nắm chắc lý thuyết và thực hành bài tập nhuần nhuyễn. Chính vì thế, hôm nay Cmath sẽ cùng các bạn ôn tập lại lý thuyết và bài tập của chuyên đề này nhé!

Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Để có thể làm được các bài tập liên quan đến nhân đa thức với đa thức. Trước hết, chúng ta cần nắm được quy tắc của nó:

Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với đa thức ta nhân mỗi đa thức của hạng tử này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Lưu ý: Tích của hai đa thức sẽ là một đa thức.

Đây là một trong những kiến thức vô cùng quan trọng bởi vì nếu làm sai một bước sẽ dẫn đến kết quả của bài toán sai hoàn toàn, các bạn cần chú ý nắm vững quy tắc để thực hiện đúng các bước.

Công thức

Cho A,B,C,D là các đa thức có sẵn, ta có: (A + B) (C + D)

Để tiến hành nhân đa thức với đa thức, ta thực hiện các bước như sau:

(A + B) (C + D)

= A (C + D) + B(C + D)

= AD + AD + BC + BD

Nắm được quy tắc nhân đa thức với đa thức sẽ suy ra được công thức một cách dễ dàng. Vì vậy, các bạn cố gắng ghi nhớ quy tắc và suy ra công thức nhé, rất đơn giản phải không nào?

Các dạng toán cơ bản

Dạng đề 1: Thực hiện phép tính hay còn gọi rút gọn các biểu thức đa thức

Phương pháp: Để giải được bài toán này ta chỉ cần áp dụng quy tắc và công thức nhân đa thức với đa thức.

Hãy cùng xét ví dụ sau đây để hiểu hơn:

(y + 1)(2y + 1)

= y.2y + y.1 + 1.2y + 1.1

= 2y2 + 2y + y + 1

= 2y2 + 3y + 1

Dạng đề 2: Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải: Để giải bài toán này ta áp dụng quy tắc giá trị của biểu thức f(x) tại x0 là f(x0)

Hãy cùng xét ví dụ dưới đây để hiểu hơn:

Tính giá trị của biểu thức sau:

A = (x - 1).(x^2 + 1) - (2x + 3).(x^2 - 2) tại x = 2

Ta có:

A = (x - 1).(x^2 + 1) - (2x + 3).(x^2 - 2)

A = x.x^2 + x.1 - 1.x^2 - 1.1 - 2x.x^2 + 2x.x - 3.x^2 + 3.2

A = x^3 + x - x^2 - 1 - 2x^3 + 4x - 3x^2 + 6

A = -x^3 - 4x^2 + 5x + 5

Suy ra, tại x = 2 ta có:

A = -2^3 - 4.2^2 + 5.2 + 5

= -9.

Dạng đề 3: Tìm x

Phương pháp giải: Để giải quyết bài tập này ta chỉ cần áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức sau đó biến đổi để đưa về dạng tìm x cơ bản.

Hãy cùng xét ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn:

Tìm x biết:

6x.(5x + 3) + 3x.(1 - 10x) = 7

Trước tiên, ta có:

6x.(5x + 3) + 3x.(1 - 10x) = 7

6x.5x + 6x.3 + 3x.1 - 3x.10x = 7

30x^2 + 18x + 3x - 30x^2 = 7

21x = 7

x = 13

Chỉ với vài nước đơn giản, đã có thể giải quyết được các dạng đề liên quan đến nhân đa thức với đa thức một cách dễ dàng. Tuy nhiên. bạn cần lưu ý tính toán kỹ lưỡng trong từng bước tránh xảy ra sai sót không đáng có nhé!

Bài tập ứng dụng

Bài tập 1: Thực hiện phép tính nhân đa thức (x - 2).(x + 5)

Lời giải:

Ta có phép tính: (x - 2).(x + 5)

x.x + x.5 - 2.x + 2.5

x^2 - 5x - 2x - 10

x^2 + 3x - 10.

Bài tập 2: Tìm nghiệm x thỏa mãn:

(x + 1).(2 - x) - (3x + 5).(x + 2) = -4x^2 + 1

Lời giải:

Ta có phép tính: (x + 1).(2 - x) - (3x + 5).(x + 2) = -4x^2 + 1

(2x - x^2 + 2- x) - (3x^2 + 6x + 5x + 10) = -4x^2 + 1

-4x^2 - 10x - 8 = -4x^2 + 1

-10x = 9

x = 9/10

Suy ra nghiệm của x là 9/10.

Bài tập 3: Rút gọn biểu thức A:

A = (2x - 3).(4 + 6x) - (6 - 3x).(4x - 2)

Lời giải:

Ta có biểu thức: A = (2x - 3).(4 + 6x) - (6 - 3x).(4x - 2)

A = (8x + 12x^2 - 12 - 18x) - (24x - 12 - 12x^2 + 6x)

A = 12x^2 - 10x - 12 - 30x + 12x^2 + 12

A = 24x^2 - 40x

Vậy sau khi rút gọn biểu thức A ta được biểu thức:A= 24x^2 - 40x

Bài tập 4: Rút gọn biểu thức A = (x + 2)(2x - 3) + 2

Lời giải:

Ta có biểu thức: A = (x + 2)(2x - 3) + 2

A = x.(2x - 3) + 2.(2x - 3) + 2

A = 2x^2 - 3x + 4x - 6 + 2

A = 2x^2 + x - 4

Vậy sau khi rút gọn biểu thức A ta được biểu thức: A = 2x^2 + x - 4

Bài tập 5: Rút gọn biểu thức A = (2x^2 + 2x).(-2x^2 + 2x)

Lời giải:

Ta có biểu thức: A = (2x^2 + 2x).(-2x^2 + 2x)

A = 2x^2(-2x^2 - 2x) + 2x^2(-2x^2 - 2x)

A = 2x2.(-2x2) + 2x^2.2x + 2x(-2x2) + 2x.2x

A = -4x^4 + 4x^3 - 4x^3 + 4x^2

A= -4x^4 + 4x^2

Vậy khi rút gọn biểu thức A ta được biểu thức: A= -4x^4 + 4x^2

Bài tập 6: Tính giá trị của biểu thức: A = (x + 3).(x^2 - 3x + 9) tại x = 10

Lời giải:

Ta có biểu thức A= (x + 3).(x^2 - 3x + 9)

A = x .(x^2 - 3x + 9) + 3.(x^2 - 3x + 9)

A = x^3 - 3x^2 + 9x + 3x^2 - 9x + 27

A = x^3 + 27

Thay x = 10 vào biểu thức A = x^3 + 27

Ta có: A = 103 + 27 = 1027

Bài tập 7: Tìm nghiệm x, biết: (2x + 2)(x - 1) - (x + 2).(2x + 1) = 0

Lời giải:

Ta có phương trình: (2x + 2)(x - 1) - (x + 2).(2x + 1) = 0

⇔ 2x.(x - 1) + 2(x - 1) - x(2x + 1) - 2.(2x +1)= 0

⇔ 2x^2 - 2x + 2x - 2 - 2x^2 - x - 4x - 2 = 0

⇔ - 5x - 4 = 0

⇔ - 5x = 4

⇔ x = 4/5

Suy ra nghiệm x của phương trình là 4/5

Bài tập 8: Tìm nghiệm x, biết: (3x + 1). (2x - 3) - 6x.(x + 2) = 16

Lời giải:

Ta có phương trình: (3x + 1). (2x - 3) - 6x.(x + 2) = 16

⇔ (3x + 1).(2x - 3) - 6x.(x + 2) = 16

⇔ 3x(2x - 3) + 1.(2x - 3 ) - 6x. x - 6x . 2 = 16

⇔ 6x^2 - 9x + 2x - 3 - 6x^2 - 12x = 16

⇔ -19x = 16 + 3

⇔ - 19x = 19

⇔ x = - 1

Vậy ta nghiệm của phương trình là x = - 1

Bài tập 9: Thực hiện phép nhân đa thức (1 - 2y).(2y^2 - 13y + 2)

Lời giải:

Ta có phép tính: (1 - 2y).(2y^2 - 13y + 2)

= (2y^2 - 13y + 2) - 2y. (2y^2 - 13y + 2)

= 2y^2 - 13y + 2 - 4x^3 + 23x^2 - 4x

= -4x^3 + 83x^2 - 133x + 2

Bài tập 10: Thực hiện thu gọn biểu thức:

A = x.(x + 2).(x -1 - x^2) - 2x^4 - 2x + 1

Lời giải:

Ta có biểu thức: A = x.(x + 2).(x -1 - x^2) - 2x^4 - 2x + 1

= (2x^2 + 2x).(x - 1 - x^2)

= 2x^2.(x - 1 - x2) + 2x.(x - 1 - x^2)

= 2x^3 - 2x^2 - 2x^4 + 2x^2 - 2x - 2x^3

= -2x^4 - 2x

Tham khảo thêm:

• Hàm số tuần hoàn là gì? Cách tính chu kỳ của hàm số lượng giác
• Phép cộng các phân thức đại số - Toán lớp 8
• Số thực là gì? Các dạng bài tập về số thực

Tạm kết:

Trên đây là toàn bộ phần giới thiệu về các kiến thức và bài tập vận dụng liên quan đến chuyên đề nhân đa thức với đa thức. Mình mong sau bài học ngày hôm nay các bạn sẽ có thêm nhiều kiến thức bổ ích, giúp ích cho quá trình học tập. Chúc bạn có một kết quả học tập cao trong môn toán học!